$(20)$ Determine whether the sequence converges $or$ diverges. $Ifit$ converges, find the $limit.$

$(a)a_n=\frac{(-1{)}^{n+1}n}{n+\sqrt[\phantom{2}]{n}}$

$(b)a_n=\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!}$

$(c)a_n=2^{-n}cosn$

$(d)a_n=(1+\frac{2}{n}{)}^n$

$(e)a_n=n-\sqrt[\phantom{2}]{n+1}\sqrt[\phantom{2}]{n+3}$

$(f)a_n=\frac{n!}{2^n}$