$2\mathrm{.}27$ A foundry has received an order for $20$ custom$-$designed castings. The casting process costs

$500$ per unit. If a casting is not sold, it has a recycle value of

$2000$ per casting for $20$ acceptable castings; the customer has also agreed to pay $$1500$ each for one or two additional castings. However, the customer is unwilling to purchase fewer than $20$ or more than $22$ castings. Based on historical records, the following probability distributions have been estimated. How many castings should be scheduled for production to maximize expected profit? What is the probability of losing money? $2024$ # Good Castings $1213141516171819202122230\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}200\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}00210\mathrm{.}050\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}150\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}00220\mathrm{.}000\mathrm{.}050\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}150\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}00$ Number of Castings Scheduled $232526270\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}000\mathrm{.}100\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}000\mathrm{.}100\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}000\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}050\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}00280\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}000\mathrm{.}00290\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}00300\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}000\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}100\mathrm{.}050\mathrm{.}050\mathrm{.}0524.$ WNNNNNN $252627282930$