$(4,0$ ptos$)$ Considere o circuito da figura abaixo onde o elemento n$$o linear NL apresenta uma rela$$o tens$$o$-$corrente dada por

$i_{NL}(t)=\frac{d^2{v}_{NL}(t)}{d{t}^2}-\frac{d{v}_{NL}(t)}{dt}+e^{-3v_{NL}(t)}$

onde $$ e $$ s$$o par$$metros positivos. Assuma como entrada da planta a corrente $u(t)$ e como sa$$da a tens$$o $y(t).$

$($a$)(1,0$ pto$)$ Determine a equa$$o diferencial que descreve a rela$$o entrada$-$sa$$da do sistema;

$($b$)(1,0$ pto$)$ Determine um modelo localmente linear que aproxime o comportamento do sistema no entorno do ponto de opera$$o $(u_0,y_0).$ Apresente as condi$$es de equil$$brio e o passo$-$a$-$passo do procedimento de lineariza$$o;

$($c$)(1,0$ pto$)$ Determine a faixa de valores de $$ e $$ em fun$$o de $R,C$ e $y_0$ tal que o modelo do item anterior seja est$$vel em malha aberta;

$($d$)(1,0$ pto$)$ Supondo $y_0=0V,R=25,C=100mF$ e que o sistema $$ BIBO est$$vel$,$ analise a influ$$ncia de $$ no ganho DC e de $$ no sobressinal do modelo localmente linear do item $($b$).$ Esboce os seguintes gr$$ficos: varia$$o do ganho DC x $$; sobressinal x $$ para $=0,0132.$