$4.(16$ points$)$ En pr$$paration pour un concert, un technicien de sc$$ne teste l'accordage d'une guitare harmonique $12$ cordres. Le couple de cordes de sol $(\backslash ($ f$=196\backslash$mathrm$\{$~Hz$\}\backslash ))$ doivent $$tre accord$$es $$ l'unison, mais en les faisant vibrer, le technicien d$$tecte un battement ayant une p$$riode de $5$ secondes$.$

$($a$)(4$ points$)$ Sachant que la longueur des cordes sur l'instrument est de $622$ mm $,$ quelle est la longueur d'onde de la vibration du mode fondamental de la corde?

$($b$)(4$ points$)$tant donn$$ la p$$riode du battement, calculez l'erreur sur la fr$$quence entre les deux cordes de sol.

$($c$)(4$ points$)$ En supposant qu'une des cordes est parfaitement ajust$$e $$ la bonne fr$$quence de r$$sonance $(\backslash ($ f$=196\backslash$mathrm$\{$~Hz$\}\backslash ))$ une tension de $103$ N $,$ quel ajustement de tension sera n$$cessaire sur la seconde corde pour corriger l$\text{'}$cart de fr$$quence$?($On consid$$rera que la corde mal ajust$$e a une fr$$quence trop basse par rapport $$ la fr$$quence id$$ale$.)$

$($d$)(4$ points$)$ En consid$$rant une vitesse du son de $\backslash (343\backslash$mathrm$\{$~m$\}/\backslash$mathrm$\{$s$\}\backslash )$ dans l'air, quelle serait la longueur d'onde dans l'air du son $$mis par la corde une fois ajust$$e $$ la bonne fr$$quence$?$