Additionele probleem $4$

$\text{'}$n Massa, $m_1,$ is aan $\text{'}$n muur vasgemaak deur $\text{'}n$

veer met styfheid $k_1.$ Die massa kan horisontaal op

$\text{'}$n oppervlakte beweeg met $\text{'}$n dinamiese wrywing$-$

skofisient van $($ignoreer statiese wrywing$).$ Die

massa is ook aan $\text{'}$n katrol vasgemaak met $\text{'}n$ radius

$r$ en massa $M$ op $\text{'}$n radius van $\frac{1}{2}r.$ Die katrol is ook

vas aan $\text{'}$n tweede mass, $m_2,$ wat ondersteun word

deur twee vere, $k_2$ en $k_3,$ wat in paralel gekoppel is$.$

$($a$)$ Hoeveel vryheidsgrade het die stelsel? Moti$-$

veer jou antwoord.

$($b$)$ Vind die bewegingsvergelyking van die sis$-$

teem in terme van die hoek waardeur die ka$-$

trol draai, $.$

$($c$)$ Vind die hoekverplasing van die katrol, $(t),$

vir die beginwaardes: $(0)=\frac{}{10}$ en ${}^{}=0.$

Neem aan dat $m_1=1kg,m_2=2kg,M=$

$0\mathrm{.}5kg,m=2kg,k_1=200\frac{N}{m},k_2=k_3=$

$30\frac{N}{m},=0\mathrm{.}4$ en $r=0\mathrm{.}25m.$

$($d$)$ Plot die hoekverplasing van die katrol om te

bepaal hoe lank die sisteem vat om tot stil$-$

stand te kom.

$($e$)$ Aanvaar nou dat die boonste massa sonder

wrywing op die oppervlakte kan beweeg en

bepaal die bewegingsvergelyking en natuur$-$

like frekwensie met die energie metode.

Additional problem $4$

A mass $m$ is attached to a wall with a spring of stiff$-$

ness $k_1.$ The mass is free to slide on a surface with a

dynamic coefficient of friction $($ignore static fric$-$

tion$).$ The mass is attached to a pulley with mass,

$M,$ and outer radius $r$ at a radius of $\frac{1}{2}r.$ This pulley

is attached to two springs with stiffness, $k_2$ and $k_3,$

that are in parallel.

$($a$)$ How many degrees of freedom does the system

have? Motivate your answer.

$($b$)$ Determine the equation of motion of the sys$-$

tem in terms of the angle of rotation of the

pulley, $.$

$($c$)$ Find the angular displacement of the rod,

$(t),$ for the initial conditions: $(0)=\frac{}{10}$ and

${}^{}=0.$ Assume that $m_1=1kg,m_2=2$

$kg,M=0\mathrm{.}5kg,m=2kg,k_1=200\frac{N}{m},$

$k_2=k_3=30\frac{N}{m},=0\mathrm{.}4$ en $r=0\mathrm{.}25m.$

$($d$)$ Draw a plot of the system response to deter$-$

mine how long the vibration will take to stop.

$($e$)$ Now assume that the mass is able to slide on

the surface without friction and use the en$-$

ergy method to determine the system's equa$-$

tion of motion and the natural frequency.