Exercice 4 Soient Xl, X2, n n variables alatoires indpendantes suivant une loi bi- nomiale B(m, p). Trouver l'estimateur 13 du maximum de vraisemblance du paramtre p. Calculer son biais et sa variance. Exercice 5 Soient a, b deux rels tels que O < a < b et (Xl X2, Xn) un n-chantillon de loi uniforme sur [0, b]. Soient les variables alatoires (Y ) dfinies par Y) sgn(XJ - a) o sgn(x) 1 si 2 0 et 1 sinon. 1. Calculer E[Yj] et Var(Yj). 2. Soit k y; _ 1 Existe-t-il k - R tel que soit un estimateur sans biais de a. 3. Soit .., n, e a) P [Yl 1, ..., Yn en]. Ecrire cette probabilit en fonction de q). En dduire l'estimateur du maximum de vraisemblance de a. L'estimateur est-il sans biais ? Calculer sa variance. Donner la limite de la variance quant n tend vers +00.