MAT1725 : Devoir #2 Prof : Daniel Fiorilli Date de remise: 4 fvrier 2016 avant 21h, au dpartement de mathmatiques et de statistique (KED) Il n'y a pas d'agrafeuse au dpartement Instructions : (1) Lire chaque question avec attention, et prparer un brouillon. Votre solution \u001cnale doit tre bien crite, lgante, claire et facilement lisible, peu importe ce que vous avez fait dans votre brouillon. Un dessin ne constitue pas une preuve. Une rponse sans preuve ne vaut rien. (2) Vous n'avez pas justi\u001cer des calculs algbriques lmentaires, sauf si on vous demande une preuve partir des aximes. (3) Les questions bonus sont optionnelles. (4) Vous pouvez discuter du devoir avec vos collgues, mais vous devez remettre votre propre copie, crite de votre main dans vos mots et avec votre interprtation de la matire. Nom: Prnom: Numro d'tudiant Ce tableau est pour le correcteur. Question 1 2 3 4 Max 6 4 6 4 Note 5 6 2b &6 (Bonus) 4 1 2 1. (6 points) Trouver le suprmum des ensembles suivants. Prouvez vos a\u001ermations. (a) [1, 2) [3, 7) (b) { 2r|r Q} (0, 1) (c) {n4 + n2 + 4|n N} 2. Soient S, T R non-vides et borns. (a) (4 points) Montrer que sup(S T ) max(sup S, sup T ). (b) (bonus, 2 points) Montrer que sup(S T ) max(sup S, sup T ). 3. (6 points) Montrer que les noncs suivants sont quivalents: (1) x > 0, n N tel que n > x. (2) x > 0, n N tel que nx > 1. (3) x, y R, x > 0 n N tel que nx > y . Indice: montrer que (1) (2) (3) (1). 4. (4 points) La suite de Fibonacci est d\u001cnie par f1 = f2 = 1, et fn = fn1 + fn2 pour n 3. (a) Monter que n 1, fn N. n = 1, 2). On doit donc montrer que n + 2. Il est impratif de faire (a) avant Noter que l'induction ici requiert deux cas de base (pour la proposition pour n et n+1 implique celle pour mme de lire l'nonc en (b)! (b) Montrer que n 1, fn = n 1+ 5 2 5 n 1 5 2 . 5. (6 points) En utilisant la d\u001cnition de limite, montrer que (a) (b) Votre solution doit commencer n3 1 0 n2 n2 + (1)n 2 1 n2 par "Soit > 0...". Vous maison. 6. (Bonus) Montrer que pour n 0, 2n k=1 1 n 1+ . k 2 pouvez garder votre brouillon la