Problem $(100$ points$)$ Consider the loaded beam

shown. The cross section is given as W$16$x$77.$

$F_{R_1}=1\mathrm{.}5(18)=27$ wips

$($a$)$ Draw shear force diagram. Make sure to label axes $(10$p$)$:

$($b$)$ Draw bending moment diagram. Make sure to label axes. $(10$p$)$:

$($c$)$ Using the shear force and bending moment at the critical section $(4$p$),$ and the cross$-$section $($W$16$x$77)$

given, determine the bending stress and shear stress at various locations $(a,b,c,d)$ of the cross$-$section $(32$p$).$

Note that points $b$ and $c$ are right below the flange and right above the web respectively. $(4p+32p=36p)$

$($d$)$ Using the bending stress and shear stress at locations $(a,b,c,d,$ determine the maximum absolute shear

stress at each location and in the overall cross$-$section. $)=(14p$

$($e$)$ Knowing that ${}_{\text{a}\text{l}\text{l}}=24$ksi and ${}_{\text{a}\text{l}\text{l}}=14\mathrm{.}5$ksi, select the most economical wide$-$flange shape that should

be used to support the loading shown. Use MS excel to compare various cross$-$sections from the App C$.$ Test

five to six different cross$-$sections, and indicate the best one. $(30$p$)$

Appendix C Properties of Rolled$-$Steel ShapesW Shapes$($Wide$-$Flange Shapes$)$DesignationW$36$ X $302135$W$33$ X $201118$W$30$ X $17399$W$27$ X $14684$W$24$ X $10468$W$21$ X $1016244$W$18$ X $106765035$W$16$ X $77403126$W$14$ X $3701458268534338302622$AreaA, in$88\mathrm{.}839\mathrm{.}759\mathrm{.}234\mathrm{.}751\mathrm{.}029\mathrm{.}143\mathrm{.}124\mathrm{.}830\mathrm{.}620\mathrm{.}129\mathrm{.}818\mathrm{.}313\mathrm{.}031\mathrm{.}122\mathrm{.}314\mathrm{.}710\mathrm{.}322\mathrm{.}616\mathrm{.}811\mathrm{.}89\mathrm{.}137\mathrm{.}6810942\mathrm{.}724\mathrm{.}020\mathrm{.}015\mathrm{.}612\mathrm{.}11\mathrm{.}28\mathrm{.}857\mathrm{.}69($U$.$S$.$ Customary Units$)$Depthd$,$ in$\mathrm{.}37\mathrm{.}335\mathrm{.}633\mathrm{.}732\mathrm{.}930\mathrm{.}429\mathrm{.}727\mathrm{.}426\mathrm{.}7024\mathrm{.}123\mathrm{.}721\mathrm{.}421\mathrm{.}020\mathrm{.}718\mathrm{.}718\mathrm{.}218\mathrm{.}017\mathrm{.}716\mathrm{.}516\mathrm{.}416\mathrm{.}015\mathrm{.}915\mathrm{.}717\mathrm{.}914\mathrm{.}814\mathrm{.}314\mathrm{.}013\mathrm{.}913\mathrm{.}714\mathrm{.}113\mathrm{.}813\mathrm{.}96\mathrm{.}4913\mathrm{.}7$Widthb, in$\mathrm{.}16\mathrm{.}712\mathrm{.}015\mathrm{.}711\mathrm{.}515\mathrm{.}010\mathrm{.}5014\mathrm{.}010\mathrm{.}012\mathrm{.}88\mathrm{.}9712\mathrm{.}38\mathrm{.}246\mathrm{.}5011\mathrm{.}211\mathrm{.}07\mathrm{.}506\mathrm{.}0010\mathrm{.}37\mathrm{.}127\mathrm{.}005\mathrm{.}535\mathrm{.}5016\mathrm{.}515\mathrm{.}510\mathrm{.}110\mathrm{.}08\mathrm{.}068\mathrm{.}006\mathrm{.}776\mathrm{.}735\mathrm{.}035\mathrm{.}00$FlangeThick$-$nesst, in$\mathrm{.}1\mathrm{.}680\mathrm{.}7901\mathrm{.}150\mathrm{.}7401\mathrm{.}070\mathrm{.}6700\mathrm{.}9750\mathrm{.}6400\mathrm{.}7500\mathrm{.}5850\mathrm{.}8000\mathrm{.}6150\mathrm{.}4500\mathrm{.}9400\mathrm{.}6800\mathrm{.}5700\mathrm{.}4250\mathrm{.}7600\mathrm{.}7150\mathrm{.}5050\mathrm{.}4400\mathrm{.}3452\mathrm{.}661\mathrm{.}090\mathrm{.}8550\mathrm{.}7200\mathrm{.}6600\mathrm{.}5300\mathrm{.}5150\mathrm{.}3850\mathrm{.}4200\mathrm{.}335$WebThick$-$nesst, in$\mathrm{.}0\mathrm{.}9450\mathrm{.}6000\mathrm{.}7150\mathrm{.}5500\mathrm{.}6550\mathrm{.}5200\mathrm{.}6050\mathrm{.}4600\mathrm{.}5000\mathrm{.}4150\mathrm{.}5000\mathrm{.}4000\mathrm{.}3500\mathrm{.}5900\mathrm{.}4250\mathrm{.}3550\mathrm{.}3000\mathrm{.}4550\mathrm{.}4300\mathrm{.}3050\mathrm{.}2750\mathrm{.}2501\mathrm{.}660\mathrm{.}6800\mathrm{.}5100\mathrm{.}4150\mathrm{.}3700\mathrm{.}3050\mathrm{.}3100\mathrm{.}2700\mathrm{.}2550\mathrm{.}230,$ in$2110078001160059008230399056602850310018302420133084319101330800510111075851837530154401710881722541428385291245199$Axis X$-$XS$,$ in$113043968635954126941421325815422712781\mathrm{.}620414688\mathrm{.}057\mathrm{.}613492\mathrm{.}264\mathrm{.}747\mathrm{.}238\mathrm{.}460723212310377\mathrm{.}862\mathrm{.}654\mathrm{.}642\mathrm{.}035\mathrm{.}329\mathrm{.}0$r in$\mathrm{.}15\mathrm{.}414\mathrm{.}014\mathrm{.}03\mathrm{.}012\mathrm{.}711\mathrm{.}711\mathrm{.}510\mathrm{.}710\mathrm{.}19\mathrm{.}559\mathrm{.}028\mathrm{.}548\mathrm{.}067\mathrm{.}847\mathrm{.}737\mathrm{.}387\mathrm{.}047\mathrm{.}006\mathrm{.}726\mathrm{.}636\mathrm{.}416\mathrm{.}267\mathrm{.}076\mathrm{.}336\mathrm{.}056\mathrm{.}015\mathrm{.}895\mathrm{.}825\mathrm{.}875\mathrm{.}735\mathrm{.}655\mathrm{.}54$dA wide$-$flange shape is designated by the letter W followed by the nominal depth in inches and the weight in pounds per foot.I, in$130022574918759812844310625970\mathrm{.}424857\mathrm{.}520\mathrm{.}722015240\mathrm{.}115\mathrm{.}313843\mathrm{.}128\mathrm{.}912\mathrm{.}49\mathrm{.}59199067714812157\mathrm{.}745\mathrm{.}226\mathrm{.}719\mathrm{.}68\mathrm{.}917\mathrm{.}00$YAppendixC A$17$Axis Y$-$YS$,$ in$15637\mathrm{.}795\mathrm{.}232\mathrm{.}679\mathrm{.}824\mathrm{.}563\mathrm{.}521\mathrm{.}240\mathrm{.}715\mathrm{.}740\mathrm{.}314\mathrm{.}06\mathrm{.}3739\mathrm{.}427\mathrm{.}610\mathrm{.}75\mathrm{.}1226\mathrm{.}912\mathrm{.}18\mathrm{.}254\mathrm{.}493\mathrm{.}4924187\mathrm{.}329\mathrm{.}324\mathrm{.}214\mathrm{.}311\mathrm{.}3$r$,$ in