Prove the identity.

sinh$($x $+$ y$)=$ sinh$($x$)$ cosh$($y$)+$ cosh$($x$)$ sinh$($y$)$

First, use the definitions of the hyperbolic functions, and then simplify by combining the exponential terms.

sinh$($x$)$ cosh$($y$)+$ cosh$($x$)$ sinh$($y$)=$

$12$

ex $$ e$$x

$12$

$$

$+$

$12$

ex $+$ e$$x

$12$

$$

ey $$ e$$y

$$

$=$

$14$

$$

$+$ ex $$ y $$ e$$x $+$ y $$ e$$x $$ y

$+$

ex $+$ y $$ ex $$ y $+$ e$$x $+$ y $$ e$$x $$ y

$$

$=$

$14$

$$

$2$e$$x $$ y

$$

$=$

$12$

$$

$$ e$($x $+$ y$)$

$$

$=$sinh$($x $+$ y$)$