Question $2.$ Soit la fonction

$f(x,y)=100(y-x^2{)}^2+(1-x{)}^2.$

Cette fonction a un minimum global en $(x^{***},y^{***})=(1,1).$

Mettre en oeuvre la m$$thode du gradient utilisant le backtracking pour calculer le pas $($bas$$ sur la condition de Armijo$).$ Minimiser la fonction ci$-$dessus $$ l'aide de votre programme. Identifier les valeurs de $s,$ et $$ dans la condition de Armijo pour lesquelles moins de $3000$ it$$rations de la m$$thode du gradient et moins de $10000$valuations de fonction soient requises. Comparer vos calculs avec ceux pour la m$$thode du gradient $$ pas constant en utilisant un pas $s$ peu pr$$s optimal en terme de nombre d'it$$rations$.$

Pour documenter votre travail, produire des tables $($une pour chaque m$$thode$)$ donnant le nombre d'it$$rations requises pour que les it$$r$$s de la m$$thode du gradient satisfassent $||gradf(x_k,y_k)||{10}^{-8}$; le nombre total d$\text{'}$valuations de fonctions $f$ et gradf; l'ordre et le taux $($si applicable$)$ de convergence; la valeur des param$$tres utilis$$s et $).$ Commencer $$ it$$rer $$ partir de $(x_0,y_0)=(2,2)$ pour tous vos cas tests num$$riques$.$

Faire cet exerice sur Matlab ou Octave en fournissant une solution complete avec une argumentation suffisamment detaill$$e et finalment fournir un listing des scripts Matlab ou Octave