Solve the following questions

$1)$

a$)p=19$ ve $=3Z_{19}\text{'}$da pirimitif kok ise $Z_{19}\text{'}$da $lo{g}_{3}5=4$ oldu$$unu gosterin.

b$)GF(2^3{)}^{\text{'}}$ de $P(x)=x^3+x+1$ irreducible bir polinom ise $A(x)=x$ ve $B(x)=x^2+x$ polinamiannum Bulmus oldu$$unuz sonu$$lan do$$rulay$$n$.$

$2)$

a$)$ RSA Kriptosistemi Algoritmas$$n$$ tan$$mlayan ve a$.$b$1($mod &$($n$))$ g$$z$$m$$nde bulundurularak ciphertexten pla$$ntexte nas$$l ula$$l$$r g$$sterin RSA da b$=1$ ve b$=2$ nin neden se$$ilemeyece$$ini a$$klay$$n$$z$.$

b$)$ Alice ve Bob RSA kriptosistemini kulland$$nda arraya Eve girerek a$$k anahtarlar$($n$,$b$)$ ve de $($p$+$q$)$ de$$erlerini bildi$$ini varsayarsak $$ifreli mesaj$$ k$$rabilece$$ini g$$sterin$.$

$3)$ Diffie$-$Hellman anahtar di$$i$$im protokol$$nde ortadaki adam sald$$r$$s$$ nas$$l yap$$l$$r$?$

$4)$

a$)$ ElGamal $$ifreleme Algoritmas$$na g$$re ayn$$ k de$$eri ile $$ifrelenmi$$ metinlerin de$$erlerini $($x $1$ mesaj$)$ifrelenmi$$ hali $($y$1,$y$21)$ ve x$$ mesaj$$n$$n $$ifrelenmi$$ hali $($y$1,$y$22)$ ele ge$$iren sald$$rgan x$1$ mesaj$$n$$rd$$ takdirde x$$ mesaj$$m k$$rabilir mi$?$ K$$rabilir ise nas$$l k$$rabilece$$ini g$$sterin$.$

b$)$ E: Y$^2$X$^3+2$X$+3($mod$5)$ e$$risi $$zerinde a$=(1,1),$ p$=(3,4)$ oldu$$unda Alice k$=3$ se$$erek x$=(3,1)\text{'}$i $$ifreleme y$$ntemi ile Elgamal $$ifreleyerek g$$nderebilir ise ek$($x$)=?$