Exercice $2/2$ : Mouvement pendulaire $(13$ points$)$

Un pendule est form$$ d'une tige rigide $OA$ de longueur L $,$ de section n$$gligeable$,$ et de masse m uniform$$ment r$$parti sur toute sa longueur et d'une deuxi$$me tige BC de masse $m^{\text{'}}$ et de longueur $\frac{L}{2}$ perpendiculaire $$ OA et de milieu A $.$ Le syst$$me oscille dans le plan Oxy $$ une vitesse angulaire $$ par rapport au point O de la barre. La position de la barre OA est d$$termin$$e par l'angle $.$ Il est $$ noter que $(R)$ est le r$$f$$rentiel li$(Ox,Oy).$

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USJ$-$ESIB$-$DCP

$2023-2024$

Tous les r$$sultats seront exprim$$s dans la base cylindrique$-$polaire $(vec(u{)}_r,$vec$(u{)}_{},$vec$(u{)}_z),$ o$$ vec$(u{)}_r$ est dans la direction de la barre $OA$ et vec$(u{)}_{}$ est dans le sens de la progression de l'angle $.$

D$$terminer la quantit$$ de mouvement vec$(P{)}_1$ de la barre OA$.(2$pts$)$

vec$(P{)}_1=m\frac{L}{2}{}^{}$vec$(u{)}_{}$

D$$terminer la quantit$$ de mouvement vec$(P{)}_2$ de la barre BC$.(2$pts$)$

vec$(P{)}_2=m^{\text{'}}L{}^{}$vec$(u{)}_{}$

D$$duire la quantit$$ de mouvement vec$(P)$ du syst$$me total. $(1$pts$)$

vec$(P)=m\frac{L}{2}{}^{}$vec$(u{)}_{}+m^{\text{'}}L{}^{}$vec$(u{)}_{}$

D$$terminer vec$({)}_{10},$ le moment cin$$tique en O de la barre OA$.(3$pts$)$

vec$({)}_{1O}=\frac{1}{3}m{L}^2{}^{}$vec$(u{)}_z$

D$$terminer vec$({)}_{2O},$ le moment cin$$tique en O de la barre BC$.(3\mathrm{.}5$pts$)$

vec$({)}_{2O}=\frac{49}{48}{m}^{\text{'}}{L}^2{}^{}$vec$(u{)}_z$

D$$terminer l$\text{'}$nergie cin$$tique de la barre OA$.(1\mathrm{.}5$pts$)$

$E_C=\frac{1}{6}m{L}^2{}^{}{?}^2$

Bon Travail