$($in psi.$)$ is to be monitored by X and R and X and S control charts using a sample size of n $5.$ Data for $20$ preliminary samples are shown below.

a$)$ Determine the trial central line and control limits for the and R$.(20$ points$).$

UCL$=$

Subgroup

Number

For X and R

UCL $=$ X $+$ A$$R

$1$

$83\mathrm{.}081\mathrm{.}878\mathrm{.}775\mathrm{.}777\mathrm{.}0$

$9$

CL$=$

$2$

$88\mathrm{.}678\mathrm{.}378\mathrm{.}871\mathrm{.}084\mathrm{.}2$

LCL$-$AR

$3$

$85\mathrm{.}775\mathrm{.}884\mathrm{.}375\mathrm{.}281\mathrm{.}0$

$4$

$80\mathrm{.}8$

$74\mathrm{.}482\mathrm{.}5$

$74\mathrm{.}175\mathrm{.}7$

UCL $=$ DR

$5$

$83\mathrm{.}478\mathrm{.}482\mathrm{.}6$

$78\mathrm{.}278\mathrm{.}9$

CL $=$ R $=$ R

LCL $=$

$6$

$75\mathrm{.}379\mathrm{.}987\mathrm{.}989\mathrm{.}781\mathrm{.}8$

$9$

$7$

$74\mathrm{.}5$

$78\mathrm{.}080\mathrm{.}873\mathrm{.}4$

$79\mathrm{.}7$

LCL $=$ DR

$79\mathrm{.}284\mathrm{.}481\mathrm{.}586\mathrm{.}074\mathrm{.}5$

$9$

$80\mathrm{.}586\mathrm{.}276\mathrm{.}964\mathrm{.}1$

$80\mathrm{.}2$

For X and S$.$

$10$

$75\mathrm{.}7$

$75\mathrm{.}2$

$71\mathrm{.}682\mathrm{.}1$

$74\mathrm{.}3$

UCL$=$

UCL $=$ X $+$ AS

$11$

$80\mathrm{.}281\mathrm{.}578\mathrm{.}473\mathrm{.}878\mathrm{.}1$

$12$

$80\mathrm{.}681\mathrm{.}879\mathrm{.}673\mathrm{.}981\mathrm{.}7$

$13$

$82\mathrm{.}781\mathrm{.}379\mathrm{.}182\mathrm{.}479\mathrm{.}5$

$8$

CLR$=$

$14$

$79\mathrm{.}2$

$74\mathrm{.}978\mathrm{.}6$

$77\mathrm{.}575\mathrm{.}3$

LCL$-$AS

$15$

$85\mathrm{.}5$

$82\mathrm{.}1$

$82\mathrm{.}8$

$73\mathrm{.}4$

$71\mathrm{.}7$

UCL $=$ BS

$16$

$78\mathrm{.}8$

$79\mathrm{.}6$

$80\mathrm{.}279\mathrm{.}1$

$80\mathrm{.}8$

$17$

$81\mathrm{.}3$

$78\mathrm{.}2$

$75\mathrm{.}5$

$78\mathrm{.}982\mathrm{.}1$

CL $=5=$ g

LCL$=$

$1884\mathrm{.}576\mathrm{.}983\mathrm{.}581\mathrm{.}279\mathrm{.}2$

$19$

$20$

$79\mathrm{.}077\mathrm{.}881\mathrm{.}284\mathrm{.}481\mathrm{.}6$

$84\mathrm{.}5$

$73\mathrm{.}1$

$78\mathrm{.}6$

$78\mathrm{.}8$

$80\mathrm{.}9$

LCL $=85$

USL$-$LSL

C

$66$

$5$ R